Уравнение на Шрьодингер

Публикувано е за първи път през 1926 г. и възбужда доста коментари, несъгласия и проблеми.
Години наред учените продължават да го коментират, да уточняват смисъла и решенията му.
Самият Шрьодингер е нямал добър отговор на въпроса какво точно представлява вълновата функция.
Той е имал предвид едно съвсем скромно решение. Сега са възникнали и други.
Много. много по-късно - през 1954 година Макс Борн получава Нобелова награда за тълкуването на Пси квадрат като вероятност за присъствие.
Тук са ползувани предни статии: Набла-операции, Материални вълни.

Вълновата функция
както и Вълновият пакет са изобретени именно от Шрьодингер, заедно с уравнението по-долу.
За първи път в тази поредица, пакета е написан в статията "Материални вълни" равенство [17].
Ще го напишем и тук :
, [1]
С буква k е означен вълновия вектор, а с x-координатата. функцията f(k) е амплитудно разпределение.
Нека в горното уравнение, вместо k и x да заместим означенията
за импулса: и за енергията: , [2]
при това се сменя интегралната променлива от k към p и вълновият пакет изглежда по следния начин:
. [3]
Сега ще приемем нещо, на пръв поглед - естествено, а именно, че

Енергията и импулса се запазват
Това е вярно за една свободна частица. Разбира се, това значи, че на p и E от [3] можем да гледаме като на константи.
Да пресметнем първата и втората частна производна на [3] спрямо координатата x:
първа: , [4]
втора: . [5]
Да пресметнем също първата производна на [3] спрямо времето t:
. [6]
Шрьодингер е използувал класически израз за енергията, тоест . [7]
Да го заместим в [6]:
. [8]
Дясната страна на [8] се различава от дясната страна на [5] само с множителя . [9]
Ако умножим [5] по [9], ще получим [8].
Освен това, ако в по-горната линия [5] трябва да участвуват трите пространствени измерения
вместо само една x, ще трябва да сменим означението с набла на втора степен:
. [10]
Да запишем това явно:
. [11]
За се спазят размерностите от [7], трябва да умножим двете страни на [11] по имагинерната единица и по .
Така стигнахме и до

Уравнението на Шрьодингер
за свободна материална частица:
. [12]
В това уравнение с буква Пси е означена Вълновата функция от по-горе [3], t - времето,
i е имагинерната единица, m е масата на частицата, е константата на Планк.



Радостин Желязков 27.10.2011
________________________________________________________________________________________

коментари

учебни статии по физика