Гаусови интеграли

Тук са пресметнати Гаусовите интеграли едно, нула, две, четири (I1, I0, I2, I4).
Други статии се обръщат към тези интеграли за справка.
Гаусов интеграл с индекс m е при m=0,1,2...
По-долу те са представени при отместен параметър a2=b.

Интеграл едно
Той е лесен за решаване :
, или кратко
. [1]
* * *

Интеграл нула
Интегралът I0 изглежда така:
.
Пресмята се всъщност неговият квадрат.
.
Квадрата на I0 покрива първи квадрант от декартова координатна система.
Правим преход към полярни координати:
,
заменяме декартовия повърхностен елемент с полярен:
.
Нагласяме границите в полярния интеграл като за първи квадрант :
.
Заместваме I1 от [1] и за I0 остава:
. [2]
* * *

Интеграл две
Интегралът I2 изглежда така:
.
Ако положим b=a2, Интеграл нула от по-горе (виж [2]) се записва като
, [3]
а I2, се превръща в
.
Той се представя като производна на [3] по параметъра b :
. [4]
Имайки предвид [2], извършваме действието в [4]
След като заместим обратно b=a2,
оконачтелно за интеграл две получаваме :
. [5]
* * *

Интеграл четири
Всички четни индекси се получават по начин подобен на I2. Производната I2 по b води до индекс 4:
.
Пресмятаме я:
.




коментари

Радостин Желязков 01.05.2011 / последна редакция 11.07.2013
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика