Матрицата II - презареждане

Матрицата II - презареждане

Този текст подпомага разбирането на Общата Теория на Относителността (ОТО).
Трябва да сте гледали Матрицата I. Вижте какво пише в сайта на Станчо Павлов за множествата.
Числовото множествата споменавано по долу би трябвало да е класирано като поле - вижте дефиницията за поле от Станчо Павлов.
Приблизително казано, това е група спрямо две действия - събиране и умножение.
Освен това искам да припомня, че се интересуваме живо от недекартови, наречени по-рано остроъгълни координатни системи.

Умножение
Може да сме свикнали да гледаме на умножението като познато действие, но нека преразгледаме значението на тази дума. Като смисъл "умножение", дори за числа, не е толкова просто нещо. Освен това навиците, които имаме и смятаме за полезни, може да ни подведат в някои случаи, които иначе в математиката са добре описани, или какъвто е случая с ОТО.
Да разгледаме фразата

ab = c.

Предполагат се две [съвпадащи едно с друго числови] множества от които са взети двата елемента a b ;
Предполага се операция върху тях f - начин за извличане на резултата, съответствуващ на думата "умножение";
Предполага се резултат от операцията c - елемент от [същото числово] множество.
Формално, това се нарича изображение (функция, англ. "map") и се означавана като
f:(A,B) -> C
където f е името на функцията; A B са означения за множествата - аргументи;
C е множество към което принадлежи резултата /наричан още образ на функцията/. Когато A,B,C са числа, това е частен случай - числова функция с два аргумента.
В компютърните езици понякога има ясен аналогичен запис - чрез декларацията на подпрограма, която връща резултат:
"function c (a,b:real) :real;" или в друг вариант "float c (float a,b);"
Сега записът от по-горе "ab = c" изглежда така:
f(a,b)=c , при което елементите a b c изобщо са разнородни и принадлежат на множествата A B C .
Ето няколко примера:
Нека R е множеството от реални числа.
- Числовото умножение се записва като f:(R,R) -> R
Нека V е множеството от 3-мерни вектори.
- Векторно умножение се записва като f_v:(V,V) -> V
Нека M33 е множеството от матрици с по 3 реда и 3 колони.
- Матричното умножение се записва като
- f_mm:(M33,M33) -> M33
Сега да допуснем, че M31 е множеството от 3x1 матрици, а M13 е множеството от 1x3 матрици. Тогава се дефинират различни умножения:
- f_CM:(M33,M31) -> M31 (матрица по вектор-стълб - във вектор-стълб)
- f_RM:(M13,M33) -> M13 (вектор-ред по матрица - във вектор-ред)
- f_VI:(M13,M31) -> R (вектор-ред по вектор-стълб - в число - вътрешно произведение /от англ. inner product/)
- f_VO:(M31,M13) -> M33 (вектор-стълб по вектор-ред - в матрица - външно произведение /от англ. outer product/)
Да се обърнем пак към векторите.
Ако бяхме в правоъгълно пространство, можехме да дефинираме скаларно умножение на два вектора като f_s:(V,V) -> R.
Но виждайки двете възможни подредби при M31 и M13, които са съставени от числова троица - тоест идентични с вектор обекти, забелязваме само една версия на (вектор-ред,вектор-стълб) - в число: M13xM31. Тази версия - вътрешно произведение е известна още под името скаларно произведение на два вектора. На същото основание скаларното умножение беше разглеждано в предната статия като операция без пряка

Симетрия
Ако a b са еднородни, тоест са от едно и също множество и f(a,b) = f(b,a), казваме, че функцията f е симетрична спрямо двата аргумента a b. При умножение на два еднородни аргумента симетрията се нарича още комутативност. Очевидно числовото умножение е комутативано, а матричното и векторното произведение - не. Но какво да кажем за скаларното умножение?. Нека си спомним за думата

Разстояние
При скаларното произведение на два вектора дефиницията f_s:(V,V) -> R работи само в декартови координати. Пак там разстоянието се пресмята по питагоровата теорема: s² = x²+y²+z².
Но измежду гореописаните умножения няма нито едно, в което двата аргумента са еднородни вектори. В предната статия дефинирахме специален взаимен базис /дуално пространство/, за да уредим този проблем. След като премахнем декартовия случай, разстоянието (дължината на вектора) може да се опише само с такъв дуализъм - свързан с метриката, или с други думи:
Векторът трябва винаги да е представен в два взаимни базиса, които по принцип са РАЗЛИЧНИ МНОЖЕСТВА.
Ясно е, че написаното по-горе декартово разстояние няма да работи за нашия случай, тъй като действието x² + y² + z² не е никак определено извън

Правоъгълни координати
От казаното по-горе личи, че отклонението от декартовата координатна система води до невъзможност да представим разстоянието по начин съвместим с правилото "ред по стълб" за матрично умножение, което иначе, в правоъгълни координати работи. Но нашата представа за пространство се влияе силно от нареченото по-горе "разстояние" и за което виждаме несъвместимост от две различни гледни точки - едната е декартовата геометрия, другата е матрична, тоест математически "абстрактна".
Изглежда техническите трудност при определянето на скоростта на светлината са довели до грубото предположение, че тя е безкрайна. Най-вероятно затова правоъгълната координатна система царува дълго време в нашите представи. Правоъгълна означава "линейно независима", тоест когато си представяме как би изглеждала картината пред очите ни от друго място и под друг ъгъл, мислено допускаме, че можем да идем и да проверим предположението си по неограничено бърз начин (това включва и илюзията за едновременност), което не е вярно. Крайната скорост на светлината е причина да преразгледаме и всичко видимо, тъй като то идва при нас не веднага, а след време t = x/c - повече от секунда от Луната до Земята.
Тези проблеми имат връзка с (и може би идват от) обясненията, защото при предаването на знания сме свикнали да рисуваме нещата върху плоскост - чрез прави линии и окръжности - пак по декартов път. Това ни принуждава да се замислим доколко е правдива нашата

Сетивност
1. Веднъж вече се срещнахме с логическите изводи от въображаемия часовник на Файнман.
Те показаха, че времето и разстоянията имат връзка, тоест не са линейно независими.
Това автоматично означава, че всички нарисувани графики на функцията x = x(t) в координатни двойки оси върху хартия, които сключват прав ъгъл, носят дефект. Този дефект е малък, защото ако скалата x е в метри, а времето t - в секунди (такива мерки са съответни на сетивността ни), то графиката на функцията x = ct почти съвпада с ординатата и декартовата деформация е твърде малка (виж фиг.1).
2. Пак в статията за Файнман може би се забелязва една странна трудност - и за времето, и за дължината е казано, че се скъсяват, но ако времето "там" тече по-бавно, някои биха се противопоставили - самият израз "по-бавно" се асоциира със "закъсняване" и може да се спори дали не е по-близо до "разширяване" отколкото до "скъсяване".
3. Тези две неща - първо острият ъгъл между оста t и правата x = ct, над която няма нищо, и второ - обратната асоциация на времето /скъсяване - закъснение/, помагат да разберем защо е по-добре да ползуваме не декартово, а друго - специално построено и наречено

Пространство на Минковски
Пространството на Минковски е четиримерно и се описва от четири координатни оси - една за време: ct, и още три пространствени: x y z, затова се казва и пространство-време. То се състои от точки с координати x y z ct. Тези точки се наричат събития и могат да се тълкуват като вектори, наричани още четиривектори.

Ако декартовата сфера е геометрично място на точки, равноотдалечени от центъра - фиг.2 :
x² + y² + z² - r² = 0 [1],
то в пространство-времето на Минковски не е точно така.
Вземайки предвид, че r не може да превишава ct, съобразяваме, че всичко възможно е вътре в едно кълбо - виж фиг.3, ограничено от равенството :
x² + y² + z² - c²t² = 0 [2].
На пръв поглед [1] и [2] са почти еднакви записи. Обаче между тях има съществена разлика:
уравнението [1] описва форма според геометрия, идваща от правоъгълната представа, а
уравнението [2] описва геометрия според форма - такава форма, каквато можем само да опитаме да си представим, например като фронт на светлинната вълна при явлението "блясък". Тази форма никак не е видима - ни отвътре, ни отвън - фиг.3 е чисто въображаема рисунка.
Така, че [2] има характер на дефиниция, а не следствие.
Удобството на декартовите координати е, че в тях дължината - разстоянието между две точки - се запазва при трансформация.
В пространството на Минковски се запазва друго нещо, наречено интервал - интервалът се определя като:
s² = x² + y² + z² - c²t². [3]
От [3] е ясно, че това нещо - интервалът - трябва да е винаги отрицателен или в краен случай нула.
Но ние можем да го определим и като положителен, ако умножим по минус единица уравнението [2]:
c²t² - x² - y² - z² = 0. [4]. Така интервалът става
s² = c²t² - x² - y² - z² [5] и винаги трябва да е положителен, или нулев.
Лоренцовите преобразувания променят декартовото разстояние, но запазват интервала от [3] / [5] в пространство-времето на Миновски.
И наистина, почти преписвайки едномерните примове от "Часовникът на Файнман", получаваме квадратите за ct' и x'

, после

и виждаме, че

, което е интервала на Минковски.
В пространство-времето на Минковски всяка точка (тоест всяко събитие) има своя временна координата. Ако разглеждаме тези събития, за които пространствените координати (x y z) не се променят, виждаме, че интервала между началото на к.с. и тях е нулев.
Нулевият интервал между две точки означава ход на светлинен лъч между тях. Това го нарекохме синхронизиране на часовниците от двете к.с. в статията "Часовникът на Файнман". В този случай x² + y² + z² = c²t².
Ето как се оказва, че всички фиксирани по (x y z) точки при Минковски се движат със скоростта на светлината.
Но ако това е вярно, всеки привидно "стоящ" предмет с маса m би притежавал огромна енергия. Тук намираме сходство с известната формула
E = mc²
- виж равенство [7] от по-късна статия със заглавие "материя".

Пространствено-времена диаграма
Ние не можем да си представим образ в четири измерения, още по малко такъв може да се нарисува върху плоскост. Но на хартия или на плосък екран може да се изобразят двойка координатни оси, от които едната е пространствена (x), а другата - временна (ct) - виж фиг.4.
Мащабите за ct и x са подбрани като приблизително равни - в светлинни секунди, за да се виждат ясно областите на бъдеще, минало и невъзможната (забранена) зона. Наблюдателят се намира в центъра на координатната система. Това изображение се нарича пространствено временна диаграма.

Приемането на равен мащаб за пространствената и временната ос улеснява възприемането на явления с този мащаб. За същото ставаше дума и в статията за Файнман, когато казахме, че естествената мярка за дължина трябва да е светлинната секунда. Това означава да приемем, че скоростта на светлината е c=1.

Тензор на Минковски
В статията "Матрицата I" видяхме как скаларното произведение в един базис се определя чрез метричен тензор. Но дължината [на векторите] в пространството се получава като скаларното произведение, затова често се казва, че метриката определя пространство.
Нека приемем, че c=1. В координати на пространство-времето на Минковски, ако индексираме направленията с 0,1,2,3 съотвени на ct, x, y, z, метричният тензор се означава с гръцка малка буква Ета и се определя като:

- Нарича се тензор на Минковски при координатни означения:

.
Да си спомним как изглежда скаларното произведение на два вектора U V от статията "Матрицата I":
UV = g_jk U^j V^k. По същия начин се пресмята и дължината и на един вектор: V² = g_jk V^j V^k,
където с g_jk означихме метричният тензор - в декартови или остроъгълни координати.
Аналогично, скаларното произведение на два четиривектора U V в пространството на Минковски е

.
Интервалът [3] на Минковски се записва като

.

коментари

Радостин Желязков 26.09.2010
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика