Разпределение на Максуел-Болцман

Това е част от класическата термодинамика, но изводът по-долу е съвременен.
Твърди се, че в историческия източник - оригинално от Дж.К.Максуел от 1860 и по-късно препечатан от Кембридж Юнивърсити Прес 1890, видът на разпределението съвпада с показания по-долу в [21].
Добре е да сте запознати със статиите Идеален газ, Барометрична формула, Гаусови интеграли,
също със статията на Станчо Павлов Инвариантност на първия диференциал на функция на повече променливи .

Зарове и монети
Когато хвърлим монета, тя пада с 1/2 вероятност на едната си страна. Всъщност точната оценка включва и Кант - положение. При него, центъра на тежестта на монетата и заедно с него - потенциалната енергия е по-високо, отколкото за другите две възможности - затова то е по-малко вероятно. По хоризонта на Фиг.1 са нанесесни трите възможности, които съставят т.нар. пространство на събитията. Ако означим с P1,P2,P3 вероятностите за трите възможни изхода, техният сбор ще е единица:

P1+P2+P3=1. [1]

Тук има две множества. Едното (Лице, Кант, Герб) е съставено от възможните събития (изходи след хвърлянето на монетата), а другото (P1, P2, P3) - от вероятности, съответни на всеки елемент от първото множество. Това съответствие е всъщност функция, много близка по идея с така нареченото вероятностно

Разпределение
Описаната по-горе ситуация е върху дискретно множество от възможни събития. При непрекъснати множества или пространства не е много по-сложно. Нека с голяма гръцка буква Омега означим непрекъснато пространство на събития - елементи означени с x. Условието за пълнота от [1] изглежда като интеграл:
. [2]
Подинтегралната функция F(x) се нарича вероятностно разпределение или вероятностна функция, или просто разпределение.
Съпоставката между [2] и [1] показва, че произведението е вероятност за изход в интервала от x до x+dx , тоест
сама по себе си F - функцията НЕ Е ВЕРОЯТНОСТ, а има характер на "вероятностна плътност".

Молекулите на газа често се удрят помежду си. При всеки удар те променят скоростите си, така, че в един момент между тях ще се намерят бързи и бавни. Тук ще потърсим отговор на въпроса "Колко са бързите и колко са бавните частици?". След казаното по-горе, такъв въпрос би звучал : Какво е вероятностното разпределение на молекулите

По скорости
Скоростта на една частица е вектор и се разлага на три взаимно перпендикулярни компоненти .
Да построим първа версия: разпределение по големина.
Големината на вектора на скоростта е .
Разпределителната функция F зависи от големината на скоростта: , но в крайна сметка F е функция на v1, v2, v3 и следователно
вероятността големината на една скорост да е в интервала u..u+du е
. [3]
Доказателство за вярността на [3] е дадено в страницата " Инвариантност на пълния диференциал ".
Да построим втора версия: разпределения по координатна ос.
Можем да обявим направленията на трите компоненти за координатни оси и всяка скорост ще е точка в така полученото пространство на скоростите.
Да означим разпределението по първата координатна ос с .
Вероятността първата компонента на една скорост да е между v1 и v1+dv1 е произведение . Аналогично важи и за другите две компоненти.
Вероятността и трите компоненти да влязат в границите v..v+dv е произведението
. [4]
Двете вероятности [4] и [3] са върху едни и същи аргументни множества. Те имат и един и същ смисъл. Разликата между тях е само в оста, върху която са проектирани скоростите - това са две сенки на една и съща вероятност, която не може да зависи от посоката. Приемаме, че
, или по-кратко

. [5]

Да пресметнем производната на [5] по v1:
[6] . Нека имаме предвид, че
. от [6] получаваме . [7]
Сега да разделим двете страни на последното уравнение [7] с двете страни на [5]:
,
или по-кратко . [8]
Изборът на координатното направление v1 е свободен - какъвто и да е той, [8] трябва да е вярно. Това ни води до заключението, че всъщност двете страни на равенството [8] представляват константа. Да означим тази константа с A. Тогава от [8] ще следва
. [9]
Интегралите на двете страни на [9] по v1 ще бъдат
[10] , където B е друга константа, възникваща от интегрирането. Тогава функцията f ще е
. [11]
Ясно е, че когато скоростта клони към безкрайност, вероятността трябва да клони към нула. Щом е така, константата A трябва да е отрицателна. За да гарантираме това, можем да я изместим с друга - такава, че A/2 = -b2.
Да заместим и константния множител eB = C. За функцията f остава формулата
. [12]
Тъй като [12] е вероятностно разпределение, трябва да е спазено условието за нормиране:
. [13]
Да привлечем на помощ известното решение на Гаусовия интеграл нула I0
, тоест .
Без да уточняваме константата b, разпределението на молекулите по скорости е
. [14]
Такъв тип рапределение се нарича Нормално или Гаусово разпределение.
Функцията f е симетрична спрямо правата v=0, тъй като скоростите "напред" и "назад" по кое да е направление са равновероятни и векторният сбор от всички скорости е нулев. Графиката f(v) е показана на Фиг.2 - Нарича се Гаусова крива.
* * *
Сега ще намерим разпределението на молекулите

По енергия
Енергията е пропорционална на квадрата на скоростта - тя не зависи от направлението, а само от квадрата на вектора, означена по-горе с u. Да означим с N броя на всички възможни скоростни вектори. (N не може да е по-голямо от броя на частиците).
Броя на скоростите чиято големина е в интервала u..u+du ще бъде
, [15]
където dw е елементарен обем в пространството на скоростите, а g(u) e разпределението на скоростите в този обем. Тъй като dw е участък скорости с почти еднакви големини u..u+du, то елементарният обем dw е сферична черупка с радиус u и дебелина du : .
Вероятностното разпределение по трите координатни оси, участвуващо по-горе като множител в [4] би трабвало да съвпада с g(u),
тъй като произведението на [4] по N трябва да даде същият брой, какъвто е [15]:
.
По аналогия с [5] можем да смятаме, че
.
Но u е линейно направление, равноправно с трите скоростни оси и ако v=u=v1, v2=0, v3=0, получаваме
[16],
където C е константен множител. Знаем какво е осевото разпределение от [14], следователно разпределението по квадрати трябва да е
[17] .
За да се нормира разпределението [17], тоест
, [18]
ще ни трябва решението на Гаусовият интеграл две I2 :
. [19]
Константата C трябва да удовлетворява равенството , [20]
тоест C=4b2. Заместваме това в [17] - там ще остане само една константа b и разпределението по квадрати на скоростите ще е
. [21]
(мисля, че в оригинала на Максуел е било написано точно горното равенство [21]).
Остана да разберем каква е константата b.
Щом функцията g(v) е разпределение на квадратите на скоростите, можем да смятаме, че средният квадрат на скоростта е
. [22]
Съгласно равенство [11] от статията идеален газ, средният квадрат би трябвало да е
. [23]
Заместваме g от [21] и слагаме знак за равенство между десните страни на [23] и [22].
. [24]
Да повикаме на помощ решението на Гаусовият интеграл I4 :
. [25]
Заместваме [25] в [24]:
. [26]
и получаваме израз за неизвестната досега константа b :
. [27]
Заместваме го в [21] и получаваме обещаното най-горе

Разпределение на Максуел-Болцман
Формулата е:
. [28]
Това е разпределение на броя молекули по квадрати на скоростите, тоест по кинетична енергия, m е масата на една молекула, kB е константата на Болцман, T е абсолютната температура. На Фиг.3 е показана поредица графики g(v) при нарастваща температура отляво надясно.




коментари

Радостин Желязков 29.04.2011
________________________________________________________________________________________
учебни статии по физика