Ковариантна производна на вектор


Този текст подпомага разбирането на математическия апарат в Общата Теория на Относителността (ОТО).
Трябва да сте гледали Матрицата I, Матрицата II и Матрицата III..
Вижте какво пише в страницата на Станчо Павлов за частните производни.

Правило на Лайбниц
Тук ще търсим как се променя образа на производната на един вектор V по координатните оси, в условията на криволинейни (обобщени) координати.
Тъй като векторът се представя като произведение (компоненти х базисни вектори): ,
по правилото на Лайбниц диференциалната промяна е [1].
От друга страна, това трябва да съвпада с [2].
Да сложим знак за равенство между десните страни на [1] и [2]. Тогава , но ако в ляво трябва остане частната производна на V по координатите, тя би трябвало да се запише по следния начин:
[3].
Изразеното в [3] е всъщност

Определение
за ковариантна производна на вектора V по координатните оси. Да погледем лявата страна на [3]. Векторът в числителя, заедно с индекса k на координатната ос ни казва, че това е нещо с по-висока размерност от самия вектор V. Не би трябвало да се изненадваме, след като вече знаем, че производната на скаларно поле по координатите е вектор, тоест пак с една размерност повече.
Да разгледаме състава на [3], тоест дясната страна. Първото събираемо е естествен сбор "компонент по координатен вектор", а що се отнася до второто, да съобразим, че компонентите на кой да е вектор U се получават като умножим вектора по взаимния базис: и така стигаме до извода, че компонентите за второто събираемо от [3] са - това позволява да запишем за j-компонента на ковариантната производна следния израз:
[4].
Да означим . Тази структура се нарича символ на Кристофел.
След всичко дотук, можем да запишем компонентите на ковариантната производна - вече известни от [4], но с друга символика, както изглежда да е общоприето:
[5].
Прилагателното "ковариантна" е ползувано, защото написното в [5] е тензор, съдържащ ковариантен индекс - тип (1,1). Това ще бъде показано по-долу.
Но засега е по-важно друго.
Ще потърсим по каква формула се преобразуват наречените по-горе

Символи на Кристофел.
Да си спомним как се преобразуват базисните и дуално-базисни вектори:
. В такъв случай, за символите на Кристофел преобразуванието е
. Да приложим правилото на Лайбниц в скобите и ще получим:
. [6].
Да разкрием скобите в [6] и да разгледаме двете събираеми - първото събираемо е:
, [7]
а второто: [8].
Да заместим [7] и [8] в [6]:
[6.1].
Да означим с буква "a" преходните елементи. Ще получим
[9].
Откъдето се вижда, че това не е тензор. Обаче сега можем да докажем, че

Ковариантната производна е тензор
Да видим как се преобразува ковариантната производна от [5]. Записваме я с примове:
[10].
Нека разгледаме първото събираемо вдясно на [10], като имаме предвид, че
[11].
Първият член на [10] е
[12].
Извършваме действието в скобите:
[13].
Сега да обърнем внимание на второто събираемо в [10], имайки предвид [6.1] и [11]. [14].
Второто събираемо от [14] и второто събираемо от [13] очевидно се преобразуват по тензорен начин.
Остава да разгледаме първите събираеми в [13] и [14]. Ако покажем, че те взаимно се унищожават, нашата цел би била постигната.
Първо да забележим, че елементите на преобразуване имат следното свойство:
. Следователно производната на този израз е нула. Тя има вид:
, откъдето се вижда, че
. Ако заместим това в [14],
първото събираемо в [14] остава [16].
Но първото събираемо в [13] е: [17]. Йее те се унищожават!
Следователно [10] може да се запише като
[18].
С "a" - коефициенти това изглежда като
[19],
което е тензорна трансформация. Това показва, че ковариантната производна е тензор.


коментари

Радостин Желязков 12.10.2010
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика