Теорема на Ричи


Този текст подпомага разбирането на математическия апарат в Общата Теория на Относителността (ОТО).
Трябва да сте гледали Матрицата I, Матрицата II и Матрицата III.
Важни са и статиите Ковариантна производна на вектор и Символи на Кристофел.

Ковариантни индекси за производната на вектори
Ковариантната производна беше дефинирана в едноименната статия само за вектори. Изразена в обичайни (контравариантни) компоненти, тя е:
[1],
или изразена чрез Гама-символите на Кристофел от втори род:
[2].
Да видим как биха изглеждали тези изрази ако представим същия вектор в ковариантни компоненти, следвайки аналогия от "Ковариантна производна". По правилото на Лайбниц, за целия вектор производната за ковариантен вектор в дуален базис е
[3],
а изразена чрез ковариантни компоненти изглежда като
[4]. (виж как стигнахме до [4] от статията "Ковариантна производна")
За да сведем второто събираемо до израз с Гама-символ, ще се наложи малко да го преобразуваме. Да забележим, че
, защото в скобите отляво стои твърда единица. Следователно
. [5]
Замeстваме [5] в [4] и получаваме:
. [6], където вече е възможна замяна с Гама-символи:
. [7]
От [1] и [7] вече имаме представа за ко и контравариантни компоненти при производните на вектори - така вече можем да напишем как изглежда една

Ковариантна производна на тензор
Ако един тензор Т има два контравариантни индекса, неговата ковариантна производна - виж [2] - ще изглежда така:
. [8]
Ако тензорът Т е с два ковариантни индекса, то - виж [7] - ще получим:
. [9]
И за смесен тип (1,1) :
. [98]
Сега вече е лесно да обявим споменатата в заглавието теорема на Ричи, която гласи:

Ковариантната производна на метричния тензор е нула
Доказателство:
Да заменим буквата T от [9] с друга буква g - която според традицията означава метричен тензор:
. [10]
В статията "Символи на Кристофел", равенство [12] беше показано, че макар Г-символите да не са тензори, първият им индекс подлежи на "вдигане" и "сваляне" чрез метричния тензор. Следователно горното равенство [10] е еквивалентно на
. [11]
Да заместим последните две съставки вдясно на [11] с изразените в равенство [11] от статията "Символи на Кристофел" Гама-символи от първи род:

. [12]

Ако проследим всяко събираемо от [12], имайки предвид симетрията на метричния тензор ( g_jq = g_qj ), е видимо, че то действително е равно на нула.




коментари

Радостин Желязков 30.11.2010
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика