Успоредно пренасяне


Този текст подпомага разбирането на Общата Теория на Относителността (ОТО).
Трябва да сте гледали Матрицата I, Матрицата II и Матрицата III.
Важни са статиите Ковариантна производна на вектор, Символи на Кристофел, Теорема на Ричи.

Ковариантна производна на вектор по път
Да разгледаме път, тоест n-торка функции
[1],
където k = 0..n-1, чиито аргумент е числото ламбда.
Векторът V, разгледан като сложна функция по този път ще има ковариантна производна равна на
. [2]
Ако тази производна е нулева, казваме, че векторът се пренася успоредно на себе си, или - в условия на криволинейни координати - това е

Условие за успореден пренос
От [2] се вижда, че то е еквивалент на нулева ковариантна производна на V.
Сега ще докажем, че ако два вектора U V се пренасят успоредно, тяхното скаларно произведение се запазва.
Да приемем съкратено означение за израза от [2]:
. [21]
По същия път, скаларното произведение VU ще има ковариантна производна . [22]
Ако погледнем подробния запис за дясната страна на [22] :
[23] ,
можем да твърдим, че и трите събираеми са тъждествено равни на нула -
първото - според вече описаната Теорема на Ричи, а второто и третото - според условието за успореден пренос в [2].
Това доказва, че при успореден пренос, скаларното произведение (следователно и дължината на пренасяния вектор) се запазва.

Да разгледаме вектор допирателен към пътя [1]. Той би имал компоненти .
Имайки предвид [2], ковариантна производна на допирателния вектор ще бъде
[3].
Изразът [3] заслужава особено внимание. Ако го сложим отляво на едно равенство, а отдясно на същото равенство пишем нула, ще получим прочутото

Геодезично уравнение
[4].
Път, който спазва това уравнение, се наричан геодезичен или геодезична линия. Ако многообразието клони към плоско пространство, второто събираемо ще изчезне и ще получим уравнение на права. На сферична повърхност такива линии са големите кръгове.
Геодезичните линии са базово понятие в разбирането за криволинейно многообразие. Ето един пример:
Опитвайки се да схвана що за явление е "успоредния пренос", разглеждах две рисунки, подобни на Фиг.1 и Фиг.2 - често представяни в литературата, за да илюстрират разликата между плоско и криволинейно успоредно пренасяне.
В плоско пространство ние сме свободни да гледаме на вектора като свободно плаващ навсякъде, запазвайки направлението и дължината си. Ако придвижим един вектор успоредно на себе си по някакъв затворен контур, в края на движението той ще съвпадне с началния си образ - виж Фиг.1.
В криволинейни координати обаче не можем да съпоставяме вектори, които са от различни тангентни пространства. Тоест за тях не е възможно да кажем дали са "успоредни" или "с равни големини". Ако последователно правим успоредно пренасяне на един вектор по затворен път, в края на движението си той няма да съвпадне със себе си, а ще бъде друг и ще зависи от пътя, по който е било извършвано движението - На Фиг.2 е изобразено такова движение върху сфера, в 10 позиции, което започва от полюса, стига до екватора, придвижва се малко по екватора и обратно се връща в полюса. Позиции 1 и 10 показват началния и крайния вектор, които явно са различни. Този пример ми се стори малко неясен.
Очевидно по маршрута от Фиг.2 на полюса има "ръб", в който преносът вече не е гладък, освен това съмнително съвпада с центъра в който се събират всички меридиани и там например посоката "към екватора" е безсмислена. А какво би било, ако пътя не минава през полюса?. Първият опит да си представя такъв път беше неуспешен - стигнах до същия вектор, от който е започнало движението. (виж Фиг.3). Но когато го погледнах отблизо, разбрах, че моето мислене се подвежда по традиционната географска координатна мрежа, асоциирайки я с правоъгълна обстановка.
В точка 5 аз си въобразявах, че векторът трябва да запази посоката на меридиана, както и правия ъгъл, който векторът сключва с паралела - Грешка! Сега разбрах какво ме подвежда - Грешката е: Aко нещо се запазва, то не е ъгъл между вектора и паралела, а по-скоро ъгълът между вектора и геодезичната линия, която в този случай е голям кръг. На фиг.4 геодезичната линия е с виолетов цвят и никак не съвпада с паралела. Там се вижда, че ако запазим ъгъла към нея, резултатът е същия, както на фиг.2, където маршрутът е действително подбран така, че да минава по геодезични линии. Има доказателство, че разликата между началния и крайния вектор зависи само от пространствения ъгъл, който се образува от затворения контур. Засега обаче е по-важно друго - че тази разлика може да послужи при оценката за

Кривина
на пространството. Най простата версия на затворен контур може да се определи от два вектора A и B - виж фиг.5.
Когато затворения контур определен от тези два вектора намалява, кривината се стабилизира в ненулева гранична стойност, която не зависи от избора на координатна система, но е свойство на самото пространство и се изразява в това, че кой да е вектор V, обхождайки напълно този контур, ще се промени. Да означим с вариацията на V при вариации в дължините на двата контурни вектора A и B.
Ще потърсим каква е зависимостта (преобразуванието) .
Да предположим, че има тензор, с който става търсеното преобразувание. Щом е преобразуващ тензор - от вектор към вектор - той трябва да има един ко и един контравариантен индекс. Но този тензор определено ще зависи и от двата вектора A и B, така, че за да бъдат прихванати и те в преобразуванието, трябва търсеният тензор да има още два ковариантни индекса. Всъщност се събраха един горен и три долни индекса, затова предполагаме, че вариацията ще е
. [5]
Тази формула е ориентировъчна. Няма да я доказваме, но от тук имаме идея, че съществува тензор R^p_qab , който се нарича

Тензор на Риман
или просто тензор на кривината.
Както видяхме по-горе, ковариантната производна е мярка за това доколко пренасянето се отклонява от успоредното (където тя е нулева). Видяхме също, че резултатът от преноса зависи от кривината. Точна представа за тензора на кривината може да се получи, ако пресметнем комутатора (ab-ba) на две последователно приложени ковариантни производни на един вектор V по две различни направления (каквито са по-горе двата вектора A и B).
За яснота "как така комутаторът отмерва кривината", вижте статията Производна на Ли.
За съвместимост с написаното другаде, нека приемем означението и да си спомним как би изглеждала с него
ковариантната производна за смесен тензор от тип (1,1) - виж [98] от статията Теорема на Ричи:
.
Комутаторът, споменат по-горе се записва като:
. [6]
Да пресметнем поотделно първия и втория член от [6]:
. [7]
. [8]
Първият и последният член на двата израза в дясно на [7] и [8] са симетрични по двата индекса a b и значи няма да участвуват в разликата; Третият член от [7] ще се унищожи от четвъртия член на [8], а четвъртият от [7] - с третия от [8]. Комутаторът е
. [9]
А търсеният тензор - тензор на Риман представлява:
. [10]
Този тензор е построен чрез две двойки вектори - първата двойка са началната и крайната версия на вектора V при движението по затворения контур. Ясно е, че ако им разменим местата (тоест разгледаме същото движение в обратна посока), трябва да получим същата по големина промяна, но с отрицателен знак, по правилото a-b = - (b-a). Следователно имаме антисиметрия по преобразуващите индекси (първите два). Отделно от това, Комутаторът [6] също показва, че ако разменим местата на двата вектора a b трябва да получим същия по големина резултат с отрицателен знак. Това говори, че Тензорът на Риман е антисиметричен и по последните два индекса:
R^p_qab = -R^p_qba
R^p_qab = -R^q_pab





коментари

Радостин Желязков 05.12.2010
________________________________________________________________________________________

учебни статии по физика